NÚMEROS NATURALES EXTREMADAMENTE GRANDES

El número de Graham y otros números enormes
“El Tao produjo el Uno. El Uno produjo el dos. El dos produjo el tres. Y el tres produjo las diez mil cosas” (Lao−Tse. Tao Te King)

“El dominio de los números naturales descansa sobre la suposición de que la operación de sumar uno puede ser repetida indefinidamente” (Tobias Dantzig)

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Factorial

El factorial de un número natural n se define como

n! = 1×2×…×n

En MENTAL se puede especificar de dos maneras:

1. De forma directa (con rango multiplicador):
   
   ⟨( fac(n) = 1*…*n )⟩
   
   
2. De forma recursiva:
   
   ⟨( fac(n) = (n*fac(n−1) ← n>1 →' 1) )⟩

Superfactorial

A. Berezin definió en 1987 el superfactorial de n, n$, de la manera siguiente:

1$ = 1
2$ = 2!^2!
3$ = 3!^(3!^3!)
4$ = 4!^(4!^(4!^4!))
etc.

en donde n$ contiene n términos, el símbolo “^” indica exponenciación y la asociatividad es a la derecha.

La definición en MENTAL es la siguiente:

⟨( superfac(n) = (^⊣( fac☆n ))(Δ3) )⟩

siendo Δ3 la asociatividad jerárquica triádica, en este caso a la derecha.


Hiperfactorial

N.J.A. Sloane y Simon Plouffe definieron en 1955 el hiperfactorial de n, H(n), de la manera siguiente:

H(n) = 1¹×2²×3³×4⁴×...×nⁿ

En notación MENTAL:

⟨( hiperfac(n) = *⊣( [⌊1…n⌋^⌊1…n⌋] ) )⟩

Número de Graham

Se debe a Ronald L. Graham. Según el Libro Guiness de los Records, es el número más grande del mundo aparecido en un problema matemático, concretamente en un problema de la teoría de Ramsey [ver Adenda].

El número de Graham se define como sigue:

Notación de Knuth	Notación de Conway
G0 = 3↑↑↑↑3 (4 flechas)	G0 = 3→3→4
G1 = 3↑…↑3 (G0 flechas)	G1 = 3→3→G0
G2 = 3↑…↑3 (G1 flechas)	G2 = 3→3→G1
. . .	. . .
G63 = 3↑…↑3 (G62 flechas)	G63 = 3→3→G62

G = G₆₃ es el número de Graham.

Expresado de forma más compacta, en la notación de Conway,

G₀ = 3→3→4
G_i = 3→3→G_i−1
G = G₆₃

Recordemos que

n→m→1 es n^m
n→m→2 es n^^m = n^m^m
n→m→3 es n^^^m = n^^m^^m^^m

En MENTAL:

(G = G(63))/⟨( G(i) = (3(^★(G(i−1)))3 ←' i=1 → (3 ^^^^ 3)) )⟩

Número de Moser

Otra forma de construir números extremadamente grandes es la inventada por Hugo Steinhaus y generalizada por Leo Moser. La notación consiste en definir polígonos, de m lados, que contienen en su interior un número n o bien otros polígonos anidados, de tal forma que el último polígono de la jerarquía contiene un número. Se define así:

• Número n dentro de un triángulo = nⁿ
• Número n dentro de un cuadrado = n dentro de n triángulos anidados
• Número n dentro de un pentágono = n dentro de n cuadrados anidados
  . . . . .
  
• Número n dentro de un polígono de m lados = n dentro de n polígonos de m−1 lados.

En MENTAL, si llamamos pol(m n) al número correspondiente a un polígono de m lados que contiene un número n, se tiene:

⟨( pol(3 n) = n^n )⟩
⟨( rec(m i) = (pol(3 n) ← i=0 →' pol(m rec(m i−1) )⟩
⟨( pol(m n) = rec(m−1 n) )⟩

En efecto, p.e.

pol(4 3) ev. rec(3 3) ev. pol(3 rec(3 2)) ev.
pol(3 pol(3 rec(3 1))) ev. pol(3 pol(3 pol(3 rec(3 0)))) ev.
pol(3 pol(3 pol(3 0))) ev. pol(3 pol(3 3^3)) ev.
pol(3 (3^3)^(3^3)) ev. ((3^3)^(3^3))^((3^3)^(3^3))

El número de Moser se define como el número 2 dentro de un polígono cuyo número de lados es el número correspondiente a un 2 dentro de un pentágono:

(Moser = (pol(pol(5 2) 2))

Se demuestra que el número de Graham es mayor que el de Moser.


Googol

Un googol −”gúgol” en español− es 10¹⁰⁰, es decir, un 1 seguido de 100 ceros. En MENTAL es:

(googol = 10^100)

El nombre “googol” fue acuñado en 1938 por el matemático Edward Kasner. Un googol es mayor que el número de partículas del universo conocido (estimado entre 10⁷² y 10⁸⁷) y es aproximadamente 70!.

Se ha propuesto un googol generalizado:

⟨( n_oogol = 10^(10^n) )⟩

Por lo tanto, (2_oogol ≡ googol)


Las notaciones n−plex y n−minex de Rudy Rucker

En MENTAL, se definen de la manera siguiente:

⟨( n_plex = 10^n )⟩
⟨( n_minex = 10^(−n) )⟩

(Aquí utilizamos el guión bajo en lugar del guión, pues este último significa resta).

Y también :

(hectoplex = 10^100) // eq. googol
(kiloplex = 10^1000)

⟨( n_duplex = (n_plex)_plex )⟩
⟨( n_triplex = ((n_plex)_plex)_plex )⟩

Por lo tanto,

(googol ≡ 100_plex)
(googol_plex ≡ 10^googol) ≡ (10^(10^100))
(googol_plex)_plex ≡ (10^(googol)_plex)) &equiv: 10^(10^(10^100))
(2_plex ≡ 100) (2_plex)_plex ≡ 10^(2_plex) ≡ googol ≡ 10^100) ((2_plex)_plex)_plex ≡ 10^(2_plex_plex) ≡ 10^googol ≡ googol_plex) ⟨( n_oogol ≡ (n_plex)_plex )⟩ ⟨( (n_plex)_plex ≡ (10^n)_plex )⟩ ⟨( (10^n)_plex ≡ 10^(10^n) )⟩

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Adenda
Teoría de Ramsey

Debe su nombre al matemático Frank Plumpton Ramsey. Se trata de un área de la combinatoria cuya idea principal es la siguiente: no es posible el desorden total en un conjunto; siempre existe un determinado orden o estructura a partir de una determinada escala o magnitud de dicho conjunto. El interés reside en calcular el número mínimo de elementos de un conjunto que cumpla una determinada propiedad o que contenga cierto objeto matemático.

Algunos ejemplos son:

1. El menor grupo de personas que siempre incluye a dos personas del mismo sexo es 3. Para que incluya a tres personas del mismo sexo, la respuesta es 5.
   
   
2. Se cogen los 101 primeros números naturales en cualquier orden. Siempre existen al menos 11 números que forman una secuencia ascendente o descendente.
   
   
3. El número mínimo de personas que hay que invitar a una fiesta para que al menos 3 se conozcan, o al menos 3 sean desconocidos entre sí, es 6. Si se trata de 4 conocidos/extraños, la respuesta es 18.
   
   Dados dos números enteros positivos k y l, hay un número entero positivo R(k, l) que corresponde al número mínimo de personas de un grupo de tal forma que k personas se conocen entre sí o l son extrañas. Estos números R(k, l) son muy difíciles de calcular. Se sabe que:
   
   
   S(3) = R(3, 3) = 6
   S(4) = R(4, 4) = 18
   
   Para valores mayores de 4, se sabe que:
   
   
   43 ≤ S(5) ≤ 49
   102 ≤ S(6) ≤ 165

El número de Graham aparece como límite superior en un problema de este tipo, pero más complejo:

En un hipercubo n-dimensional se conectan cada par de vértices para obtener un grafo completo de 2ⁿ vértices. Se colorean cada una de las aristas de negro o de rojo. ¿Cuál es el menor valor de n para el cual toda forma de colorear las aristas necesariamente da lugar a un subgrafo de un solo color de 4 vértices formando un plano?

Bibliografía

• Aaronson, Scott. Who Can Name the Bigger Number? Internet, 1999.
  
  
• Crandall, R.E. The Challenge of Large Numbers. Scientific American, 276, pp 74−79, Feb. 1997.
  
  
• Hardy, G.H. & Wright, E.M. An Introduction to the Theory of Numbers. Clarendon Press, 1978.
  
  
• Hoffman, Paul. El hombre que solo amaba los números. Ediciones Granica, S.A., 2000.
  
  
• Ifrah, Georges. Historia Universal de las Cifras. Espasa, Ensayo y Pensamiento, 1997.
  
  
• Kassner, Edward y Newman, James Roy. Mathematics and the Imagination. Simon & Schuster, 1967.
  
  
• Rayo, agustín. El duelo de los números grandes. ¿Cual es el número más grande que puede escribirse en una pizarra? Investigación y Ciencia, Agosto 2008, pp. 90−91.
  
  
• Rucker, Rudy. Infinity and the Mind. Princeton University Press, 1995.